| [Назад] [Далее] | |
Набор команд для работы с плавающей запятой в процессорах Intel достаточно разнообразен, чтобы реализовывать весьма сложные алгоритмы, и прост в использовании. Единственное, что может представлять определенную сложность, — почти все команды FPU по умолчанию работают с его регистрами данных как со стеком, выполняя операцию над числами в ST(0) и ST(1) и помещая результат в ST(0), так что естественной формой записи математических выражений для FPU оказывается обратная польская нотация (RPN). Эта форма записи встречается в программируемых калькуляторах, языке Форт и почти всегда неявно присутствует во всех алгоритмах анализа математических выражений: они сначала преобразовывают обычные выражения в обратные и только потом начинают их анализ. В обратной польской нотации все операторы указываются после своих аргументов, так что sin(x) превращается в х sin, a а+b превращается в a b +. При этом полностью пропадает необходимость использовать скобки, например: выражение (a+b)*7-d записывается как а b + 7 * d -.
Посмотрим, как выражение, записанное в RPN, легко воплощается при помощи команд FPU на примере процедуры вычисления арксинуса.
; asin
; вычисляет арксинус числа, находящегося в st(0) (-1 <= х <= +1)
; по формуле asin(x) = atan(sqrt(x2/(1-x2)))
; (в RPN: x x * x x * 1 - / sqrt atan)
; результат возвращается в st(0), в стеке FPU должно быть
; два свободных регистра
asin proc near ; комментарий показывает содержимое стека FPU:
; первое выражение - ST(0), второе - ST(1) и т.д.
; х (начальное состояние стека)
fld st(0) ; х, х
fmul ; x2
fld st(0) ; х2, х2
fld1 ; 1, x2, x2
fsubr ; 1-х2, x2
fdiv ; x2/(1-x2)
fsqrt ; sqrt(x2/(1-x2))
fld1 ; 1, sqrt(x2/(1-x2))
fpatan ; atan(sqrt(x2/(1-x2)))
ret
asin endp
Теперь попробуем решить небольшое дифференциальное уравнение — уравнение Ван-дер-Поля для релаксационных колебаний:
х" = -х + m(1-х2)х', m > 0
будем двигаться по времени с малым шагом h, так что
x(t + h) = x(t) + hx(t)'
x(t + h)' = x(t)' + hx(t)"
или, сделав замену у = х',
у = у + h(m(1-x2)y - х)
х = х + hy
Это уравнение интересно тем, что его решение для всех m > 0 оказывается периодическим аттрактором, так что, если из-за ошибок округления решение отклоняется от истинного в любую сторону, оно тут же возвращается обратно. При m = 0, наоборот, решение оказывается неустойчивым и ошибки округления приводят к очень быстрому росту х и у до максимальных допустимых значений для вещественных чисел.
Эту программу нельзя реализовать в целых числах или числах с фиксированной запятой, потому что значения х и х' различаются на много порядков — кривая содержит почти вертикальные участки, особенно при больших m.
; vdp.asm
; решение уравнения Ван-дер-Поля
; x(t)" = -x(t) + m(1-x(t)2)x(t)'
; с m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
;
; программа выводит на экран решение с m = 1, нажатие клавиш 0 - 8 изменяет m
; Esc - выход, любая другая клавиша - пауза до нажатия одной из Esc, 0 - 8
.model tiny
.286 ; для команд pusha и рора
.287 ; для команд FPU
.code
org 100h ; СОМ-программа
start proc near
cld
push 0A000h
pop es ; адрес видеопамяти в ES
mov ax,0012h
int 10h ; графический режим 640x480x16
finit ; инициализировать FPU
xor si, si ; SI будет содержать координату t и меняться
; от 0 до 640
fld1 ; 1
fild word ptr hinv ; 32, 1
fdiv ; h (h = 1/hinv)
; установка начальных значений для _display:
; m = 1, x = h = 1/32, у = х' = 0
again: fild word ptr m ; m, h
fld st(1) ; x, m, h (x = h)
fldz ; y, x, m, h (y = 0)
call _display ; выводить на экран решение, пока
; не будет нажата клавиша
g_key: mov ah,10h ; чтение клавиши с ожиданием
int 16h ; код нажатой клавиши в AL,
cmp al,1Bh ; если это Esc,
jz g_out ; выйти из программы,
cmp al,'0' ; если код меньше "0",
jb g_key ; пауза/ожидание следующей клавиши,
cmp al,'8' ; если код больше "8",
ja g_key ; пауза/ожидание следующей клавиши,
sub al,'0' ; иначе: AL = введенная цифра,
mov byte ptr m,al ; m = введенная цифра
fstp st(0) ; x, m, h
fstp st(0) ; m, h
fstp st(0) ; h
jmp short again
g_out: mov ах,0003h ; текстовый режим
int 10h
ret ; конец программы
start endp
; процедура _display
; пока не нажата клавиша, выводит решение на экран,
; делая паузу после каждой из 640 точек
;
_display proc near
dismore:
mov bx,0 ; стереть предыдущую точку: цвет = 0
mov cx,si
shr cx,1 ; CX - строка
mov dx,240
sub dx,word ptr ix[si] ; DX - столбец
call putpixel1b
call next_x ; вычислить x(t) для следующего t
mov bx,1 ; вывести точку: цвет = 1
mov dx,240
sub dx,word ptr ix[si] ; DX - столбец
call putpixel1b
inc si
inc si ; SI = SI + 2 (массив слов),
cmp si,640*2 ; если SI достигло конца массива IX,
jl not_endscreen ; пропустить паузу
sub si,640*2 ; переставить SI на начало массива IX
not_endscreen:
mov dx,5000
xor cx,cx
mov ah,86h
int 15h ; пауза на CX:DX микросекунд
mov ah,11h
int 16h ; проверить, была ли нажата клавиша,
jz dismore ; если нет - продолжить вывод на экран,
ret ; иначе - закончить процедуру
_display endp
; процедура next_x
; проводит вычисления по формулам:
; y = y + h(m(1-x2)y-x)
; х = х + hy
; ввод: st = y, st(1) = х, st(2) = m, st(3) = h
; вывод: st = y, st(1) = x, st(2) = m, st(3) = h, x * 100 записывается в ix[si]
next_x proc near
fld1 ; 1, y, x, m, h
fld st(2) ; x, 1, y, x, m, h
fmul st,st(3) ; x2, 1, y, x, m, h
fsub ; (1-x2), y, х, m, h
fld st(3) ; m, (1-x2), y, x, m, h
fmul ; M, y, x, m, h (M = m(1-x2))
fld st(1) ; y, M, y, x, m, h
fmul ; My, y, x, m, h
fld st(2) ; x, My, y, x, m, h
fsub ; My-x, y, x, m, h
fld st(4) ; h, My-x, y, x, m, h
fmul ; h(My-x), y, x, m, h
fld st(1) ; y, h(My-x), y, x, m, h
fadd ; Y, y, x, m, h (Y = y + h(My-x))
fxch ; y, Y, x, m, h
fld st(4) ; h, y, Y, x, m, h
fmul ; yh, Y, x, m, h
faddp st(2),st ; Y, X, m, h (X = x + hy)
fld st(1) ; X, Y, X, m, h
fild word ptr c_100 ; 100, X, Y, X, m, h
fmul ; 100X, Y, X, m, h
fistp word ptr ix[si] ; Y, X, m, h
ret
next_x endp
; процедура вывода точки на экран в режиме, использующем 1 бит на пиксель
; DX = строка, СХ = столбец, ES = A000h, ВХ = цвет (1 - белый, 0 - черный)
; все регистры сохраняются
putpixel1b proc near
pusha ; сохранить регистры
push bx
xor bx,bx
mov ax,dx ; AX = номер строки
imul ax,ax,80 ; AX = номер строки * число байт в строке
push cx
shr сх,3 ; СХ = номер байта в строке
add ax,cx ; АХ = номер байта в видеопамяти
mov di,ax ; поместить его в DI и SI
mov si,di
pop сх ; СХ снова содержит номер столбца
mov bx,0080h
and cx,07h ; последние три бита СХ =
; остаток от деления на 8 =
; номер бита в байте, считая справа налево
shr bx,cl ; теперь в BL установлен в 1 нужный бит
lods es:byte ptr ix ; AL = байт из видеопамяти
pop dx
dec dx ; проверить цвет:
js black ; если 1 -
or ax,bx ; установить выводимый бит в 1,
jmp short white
black:
not bx ; если 0 -
and ax,bx ; установить выводимый цвет в 0
white:
stosb ; и вернуть байт на место
рора ; восстановить регистры
ret ; конец
putpixel1b endp
m dw 1 ; начальное значение m
с_100 dw 100 ; масштаб по вертикали
hinv dw 32 ; начальное значение 1/h
ix: ; начало буфера для значений x(t)
; (всего 1280 байт за концом программы)
end start