БУМАЖНЫй НОМЕР
![]() |
01.11.2001
Константин Кноп
Задачный винегрет был моим любимым жанром в «Досугах». Как правило, я подбирал задачки, объединенные каким-либо сюжетом, но иногда никакого сюжета не было - точнее, он диктовался только вдохновением и моими собственными ассоциациями: вспомнил одну задачку, она потянула за собой другую и так далее.
В сегодняшнем салате есть два объединяющих ингредиента. Во-первых, для решения этих задач 1 практически не нужно знать «крутой» математики, нужно лишь уметь логически мыслить. А во-вторых, все они в разные годы предлагались на Уральских турнирах юных математиков.
Задача 1
- Сколько лет вашему внуку?
- Моему внуку столько месяцев, сколько мне лет, а вместе нам 65.
Так сколько же лет внуку и сколько - бабушке?
Решение
Как и договорились, не будем использовать уравнения, а порассуждаем. Поскольку внуку, очевидно, целое число лет (иначе сумма возрастов не была бы целым числом лет), то количество прожитых им месяцев делится на 12. Значит, и возраст бабушки делится на 12. Ближайшее к 65 число, которое делится на 12, - это 60. Поделив 60 на 12, получаем возраст внука - 5 лет. И действительно, 60+5=65. 2
Задача 2
Все натуральные числа от 1000 до 2000 записаны подряд: 100010011002…19992000. Сколько раз в этом ряду после нечетной цифры идет четная?
Решение
Господа программисты, не торопитесь писать программу! Давайте разобьем задачу на четыре простых подзадачи. Во-первых, ответим на вопрос, сколько раз после нечетного числа (от 1001 до 1999) идет четная цифра? Ответ прост: ровно один раз, после 1999 идет двойка от числа 2000. Теперь вторая подзадача: сколько раз в числах, выписанных в ряд, бывает нечетное количество десятков и четное количество единиц? Считаем: есть пять четных цифр для разряда единиц, пять нечетных цифр для разряда десятков и любые из десяти цифр в разряде сотен. Итого 10*5*5=250. Подзадача третья: сколько раз бывает нечетное число сотен и четное количество десятков? Расчет тот же: 5*5*10=250. И, наконец, подзадача четвертая: сколько раз бывает нечетное количество тысяч и четное число сотен? Число тысяч нечетно всегда (там стоит единица), а четных сотен всего пять - итого имеется пятьсот таких чисел. В сумме получаем ответ: 1+250+250+500=1001.
Задача 3
Имеются чашечные весы и четыре гири, сделанные из одинакового металла. Одна из них большая, другая поменьше, третья еще меньше, а четвертая - самая маленькая. Гири по очереди ставятся на чашки весов (на каждом шаге со стола берется любая гиря и ставится на любую чашку весов). Известный хвастун Петя Сидоров не знает точного веса гирь, но заявляет, что сможет ставить гири на весы так, что сначала три раза перевесит левая чашка, а последний раз - правая. Стоит ли ему верить?
Решение
Как ни странно, он прав. Упорядочим гири по убыванию веса: первая самая тяжелая, гиря полегче - вторая, еще полегче - третья, и самая маленькая, она же самая легкая, - четвертая. Теперь положим на левую чашку вторую гирю. Чашка перевесит. Добавим к ней четвертую - без изменений. Поставим на правую чашку третью гирю. Левая чашка по-прежнему будет перевешивать, так как на ней есть вторая гиря - более тяжелая, чем третья. Теперь положим на правую чашку первую, самую тяжелую гирю. Правая чашка перевесит, так как первая гиря тяжелее второй, а третья тяжелее четвертой. Полный триумф Пети Сидорова!
Задача 4
В комнате находятся десять человек, некоторые из них всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. На каждом из них надета черная или белая шапка. Каждый из них сказал: «Среди остальных девяти человек (всех, кроме меня) ровно трое носят черные шапки». Сколько из них может быть лжецами?
Решение
Трое, шестеро или все десять. Очевидно, все десять человек могут оказаться лжецами - например, в ситуации, когда на всех надеты черные шапки. А дальше - давайте рассуждать! Предположим, что кто-то из присутствующих сказал правду. Тогда (в зависимости от цвета его шапки) в комнате три или четыре человека в черных шапках. В первом случае лгут все люди в черных шапках (трое), а во втором - все люди в белых шапках (шестеро).
Задача 5
Некоторые жилые дома в поселке связаны сетью. Соседями называются двое, чьи дома соединены проводом. Всегда ли удастся поселить в каждый дом по одному человеку - лжецу или рыцарю (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) - так, чтобы каждый из них ответил положительно на вопрос: «Есть ли среди ваших соседей лжецы?» (Разумеется, каждый обитатель поселка знает про каждого из своих соседей, лжец он или нет.)
Решение
Да, всегда. Рассмотрим D - наибольшее подмножество домов, никакие два из которых не являются соседними (то есть не соединены проводом). В каждый из таких домов поселим лжеца, а в каждый из остальных домов - рыцаря. Заметим, что каждый рыцарь является соседом хотя бы одного лжеца (иначе его дом мог бы пополнить подмножество D), поэтому все рыцари ответят на заданный вопрос утвердительно. В то же время все соседи каждого лжеца - рыцари (потому что дома лжецов принадлежат множеству D, в котором соседних домов нет), то есть лжец тоже должен отвечать на этот вопрос утвердительно.
Задача 6
За круглым столом сидят тридцать человек. Некоторые из них всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. У каждого спросили: «Есть ли среди ваших соседей лжец?», и каждый ответил: «Да». Сколько лжецов могло быть за столом?
Решение
Сразу отметим, что вокруг каждого лжеца сидят два рыцаря, а около каждого рыцаря сидит хотя бы один лжец. Следовательно, никакие три рыцаря не сидят подряд. Итого: между лжецами сидит либо один, либо два рыцаря, а значит, число рыцарей не меньше числа лжецов, но не больше удвоенного числа лжецов. Поскольку всего рыцарей и лжецов тридцать, то лжецов не меньше десяти и не больше пятнадцати.
Задача 7
У бензоколонки с неограниченным запасом бензина стоят два грузовика, каждый из которых на полной заправке может проехать 100 км. Машины могут заправляться неограниченное число раз. Разрешается переливать бензин из одного бензобака в другой. Докажите, что одна из машин может (с помощью другой) доехать до города, расположенного в 174 км от бензоколонки.
Решение
Сначала оставим один грузовик в 49 км от бензоколонки, а другой будет делать рейсы от бензоколонки до первого грузовика и обратно, сливая в его бензобак каждый раз по два литра бензина. Через 26 поездок бензобак первого грузовика окажется полным (49+2*25+1=100), а в бензобаке второго окажется бензина еще на 50 км. После этого оба грузовика вместе стартуют по направлению к городу. Через 25 км суммарный запас горючего в двух баках будет таким, которого хватает ровно на 100 км. В этот момент один из грузовиков сливает весь свой бензин другому, после чего другой проходит еще 100 км. Таким образом, всего пройдено расстояние 49+25+100=174 км.
Задача 8
У Альберта было 6 гиней, у Бруно - 3 гинеи и 23 шиллинга, а у Кристофера - 46 шиллингов. После того, как каждый из мальчиков подарил каждому из остальных по одной из своих монет, у всех оказались одинаковые суммы денег. Сколько шиллингов в одной гинее?
Решение
Проще всего разобрать все возможные случаи обмена монетами. Эти случаи отличаются только действиями Бруно, поскольку два остальных мальчика действовали единственно возможным образом. После обмена остаются следующие непротиворечивые варианты:
Задача 9
В сказочной стране Ферра-Терра среди прочих обитателей проживают карабасы и барабасы. Каждый карабас знаком с шестью карабасами и девятью барабасами. Каждый барабас знаком с десятью карабасами и семью барабасами. Кого в этой стране больше - карабасов или барабасов?
Решение
Нарисуем всех жителей Ферра-Терры на картинке и соединим отрезком каждую знакомую пару «карабас-барабас». От каждого карабаса отходит по девять отрезков, а от каждого барабаса - по десять. Поэтому общее число отрезков делится на 90. 1/10 от этого количества есть число барабасов, а 1/9 - число карабасов. Так как 1/9 > 1/10, то карабасов больше.
Задача 10
Десять человек пришли в гости в галошах. Уходили они по одному, и каждый надевал произвольную пару галош, в которую мог влезть (то есть не меньшего размера, чем его собственная). Каково наибольшее число людей, которые не смогли надеть галоши?
Решение
Пусть галоши имели размеры от 38-го до 47-го. Если с самого начала уходили люди с маленькой ногой, надевая при этом большие галоши, то, очевидно, в конце большеногим галош не хватит. Конкретный пример, в котором без галош остаются пятеро, строится очень легко: пусть первыми ушли гости с размером ноги от 38-го до 42-го, надев при этом галоши размеров от 43-го до 47-го. Тогда никому из «гулливеров» не удастся надеть оставшиеся маленькие галоши.
Теперь объясним, почему больше пяти человек не могут остаться без галош. Действительно, если осталось еще шесть пар галош и шесть человек, то остался хотя бы один человек, размер которого не больше 42-го (это шестой размер, считая от наибольшего), и хотя бы одна пара галош, размер которой не меньше 43-го (пятый размер, считая от наибольшего, а ушли всего четверо). Этот гость может уйти именно в этих галошах.
1 (обратно к тексту) - Пользуясь случаем,
хочу поблагодарить авторов задач: Д. Ю. Кузнецова, С. Л. Берлова, И. С.
Рубанова, Ю. М. Лифшица и Д. В. Карпова. Некоторые задачи сочинялись
объединенными усилиями разных людей.
2 (обратно к тексту) - Пурист-математик
обязательно придерется и назовет такое решение неполным, а то и вовсе «не
решением». И будет прав: для полноты необходимо объяснить, что если бы бабушке
было больше 60 лет, то и внуку было бы больше 60 месяцев, а значит, сумма их
возрастов была бы больше 65 лет. Аналогично, если бабушке меньше 60, то сумма
возрастов меньше 65. Математики называют это свойство монотонностью.